Coefficient of Restitution

Coefficient of Restitution

The coefficient of restitution is defined as the absolute value of the ratio of the velocity of separation to the velocity of approach. The velocity of separation is the difference between the velocities of the two colliding objects just after the collision. It describes how fast they are moving away from each other. The velocity of approach is the difference between the velocities of the two colliding objects just before the collision. It describes how fast they are moving toward each other. The coefficient of restitution is usually abbreviated with the letter e.Matematically,

e =  =

where

e = coefficient of restitution

v₁,v₂ = post-impact velocities of object one and two

u₁,u₂ = pre-impact velocities of objects two and one

The coefficient of restitution has no units. For perfectly inelastic collisions, the coefficient of restitution is 1.0, its maximum value. For perfectly inelastic collisions, the coefficient of restitution is zero, its minimum value. If we know the coefficient of restitution for the two objects in an elastic collision, this along with the conservation of momentum equation gives us the information needed to determine the post-collision velocities of the colliding objects.

            The coefficient of restitution is affected by the nature of both objects in the collision. For ball sports, it is most easily measured if the object that the ball collides with is fixed and immoveable. Then only the pre- and post-impact velocities of the ball needed to be measured. Actually, if the ball is dropped from a specified height onto the fixed impact surface, then the eight of the rebound and the height of the drop provide enough information to compute the coefficient of restitution (refer to figure 3.6). (can you derive this equation from equation 3.16 and equation 2.18?)

e =

The coefficient of restitution is a critical measure in most ball sports, since the “bounciness” of a ball and the implement or surface it strikes will greatly affect the outcome of a competition. If bats had higher coefficients of restitution with baseball, more home runs would be hit (and more pitchers would be injured by hit balls). If golf clubs had higher coefficient of restitution with golf balls, 300yd drives might be common. Obviously, the rules makers must regulate the coefficient of restitution for the balls and implements involved In ball sports.

            Most rules for ball sports directly or indirectly specify what the coefficient of restitution must be for the ball on the playing surface or implement. The USGA rules forbid drivers having a coefficient of restitution with the golf ball greater than 0.830. NCAA men’s basketball rules require the ball to bounce to a height between 49 and 54 in. (measured to the top of the ball). The rules of racquetball state that the ball must bounce to a height of 68 to 72 in. if dropped from a height of 100 in. What is the range of allowed values for the coefficient of restitution for a racquetball, according to this rule?

e =

low value :

e =  =  = 0.82

high value

e =  =  = 0.85

According to the rules of racquetball, the coefficient of restitution of the ball must between 0.82 and 0.85. The coefficient of restitution of a baseball with a wooden bat is about 0.55. The coefficient of restitution of a tennis ball on the court is about 0.73. How the ball bounces is determined by its coefficient of restitution.

SAMPLE PROBLEM 3.1

A golf ball is struck by a golf club. The mass of the ball is 46 g, and the mass of the club head is 210 g. The club head’s velocity immediately prior to impact is 50 m/s. If the coefficient of restitution between the club head and the ball is 0.80, how fast is the ball moving immediately after impact?

Solution:

Step 1: List the known quantities

m_ball = 46 g

m_club = 20 g

u_ball = 0 m/s

u_club = 50 m/s

e = 0.80

Step 2 : Identify the variable to solve for,

V_ball = ?

Step 3: Search for equations with the known and unknown variables in them.

m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂

m_ballu_ball + m_clubc_club = m_ballv_ball + m_clubv_club

e =  =  =

Step 4: We have two unknown variables, v_club and v_ball  which represent the post-impact velocities of the club and the ball. We also have two equations to use. If the number of independent equations is equal to the number of unknown variables, the unknown variables can be computed. We need to solve one of the equations for one the unknown variables in terms of the other. Let’s use the coefficient of restitution equation and solve for the most-impact velocity of the club. We want to manipulate the equation so that the post-impact velocity of the club, v_club, is isolated on one side of the equation by itself.

e =

e (u_ball – u_club) = v_club - v_ball

v_club = e (u_ball – u_club) + v_ball

Step 5: Now let’s substitute this expression for the post-impact velocity of the club into the conservation of momentum equation.

m_ballu_ball + m_clubc_club = m_ballv_ball + m_clubv_club

m_ballu_ball + m_clubc_club = m_ballv_ball + m_club X [e(u_ball – u_club)+v_ball]

Step 6 : Substitute known values and solve for the post-impact velocity of the ball

(46 g)(0) +(210 g)(50 m/s) = (46 g)v_ball + (210 g) X [0.80 (0-50 m/s) + v_ball]

(210 g)(50 m/s) = v_ball (46 g +210 g) – (210 g)(0.8)(50 m/s)

(210 g)(50 m/s) + (210 g)(0.8)(50 m/s) = v_ball (256 g)

v_ball =

v_ball = 74 m/s

Step 7 : Common sense check

This velocity is over 150 mi/hr, but that seems about right when you think about the fast a golf ball rockets of the tee.

Our exploration of Newton’s first law of motion led us to the conservation of momentum principle and collisions. In the analysis of collisions, we considered both colliding objects to be part of the same system, and thus we ignored the force of impact-since it was an internal force. If we isolate only one of the objects involved in the collision, then this impact force becomes an external force, and Newton’s first law no longer applicable. What happens when the external forces acting on an object result in a net external force not equal to zero? Newton came up with an answer to this question in his second law of motion.

Koefisien Restitusi

Koefisien restitusi didefinisikan sebagai nilai absolut dari rasio kecepatan pemisahan dengan kecepatan pendekatan. Kecepatan pemisahan adalah perbedaan antara kecepatan dari dua benda bertabrakan setelah tumbukan. Ini menggambarkan seberapa cepat mereka bergerak menjauh dari satu sama lain. Kecepatan pendekatan adalah perbedaan antara kecepatan dari dua benda bertabrakan sebelum tabrakan. Ini menggambarkan seberapa cepat mereka bergerak ke arah satu sama lain. Koefisien restitusi biasanya disingkat dengan huruf e. Rumus matematikanya:

e =  =

dimana

e = koefisien restitusi

v₁,v₂ = kecepatan setelah tumbukan objek satu dan dua

u₁,u₂ = kecepatan sebelum tumbukan objek dua dan satu

Koefisien restitusi tidak memiliki satuan. Tumbukan elastis sempurna, koefisien restitusi adalah 1,0, nilai maksimum. Untuk tumbukan inelastis sempurna, koefisien restitusi adalah nol, nilai minimum. Jika kita mengetahui koefisien restitusi untuk dua objek dalam tumbukan elastis, ini bersama dengan konservasi persamaan momentum memberi kita informasi yang dibutuhkan untuk menentukan kecepatan pasca-tabrakan benda bertabrakan.

            Koefisien restitusi dipengaruhi oleh sifat dari kedua objek dalam tabrakan. Untuk olahraga bola, hal ini sangat mudah diukur jika objek bola saling bertabrakan adalah tetap dan tidak bergerak. Maka hanya sebelum dan sesudah dampak kecepatan bola perlu diukur. Sebenarnya, jika bola dijatuhkan dari ketinggian tertentu ke permukaan tetap, maka ketinggian saat bola melambung dan ketinggian saat bola dibawah memberikan informasi yang cukup untuk menghitung koefisien restitusi (lihat gambar 3.6). (dapat Anda menurunkan persamaan ini dari persamaan 3.16 dan persamaan 2.18?)

e =

Koefisien restitusi adalah ukuran penting dalam olahraga bola, karena "pemantulan" dari suatu bola dan suatu alat akan sangat mempengaruhi hasil kompetisi. Jika alat pemukul memiliki koefisien lebih tinggi restitusi dengan bisbol, lebih cepat akan terkena (dan lebih menabrak akan terluka oleh tabrakan bola). Jika pemukul (tongkat golf) memiliki koefisien lebih tinggi restitusi dengan bola golf, drive 300yd mungkin umum. Jelas, para pembuat aturan harus mengatur koefisien restitusi bola dan alat yang terlibat dalam olahraga bola.

Sebagian aturan untuk olahraga bola langsung atau tidak langsung menentukan apa koefisien restitusi harus untuk atau alat. Aturan USGA melarang driver memiliki koefisien restitusi dengan bola golf yang lebih besar dari 0.830. Aturan basket NCAA pria membutuhkan bola untuk bangkit ke ketinggian antara 49 dan 54 di. (Diukur ke atas bola). Aturan negara badminton bahwa bola harus memantul ke ketinggian 68-72 di. Jika jatuh dari ketinggian 100 in. Berapa kisaran nilai diperbolehkan untuk koefisien restitusi untuk badminton, menurut aturan ini?

e =

nilai rendah

e =  =  = 0.82

nilai tinggi

e =  =  = 0.85

Menurut aturan badminton, koefisien restitusi dari bola harus antara 0,82 dan 0,85. Koefisien restitusi bola bisbol dengan tongkat kayu adalah sekitar 0,55. Koefisien restitusi bola tenis di lapangan sekitar 0,73. Bagaimana memantul bola ditentukan oleh koefisien restitusi.

CONTOH MASALAH 3.1

Sebuah bola golf dipukul oleh sebuah tongkat golf. Massa bola adalah 46 g, dan massa kepala tongkat golf adalah 210 g. Kecepatan tongkat golf sebelum dipukulkan adalah 50 m / s. Jika koefisien restitusi antara kepala tongkat golf dan bola adalah 0,80, seberapa cepat bola bergerak segera setelah tumbukan?

Langkah 1 : Menulis yang diketahui

m_ball = 46 g

m_club = m tongkat golf= 210 g

u_ball = 0 m/s

u_club = u tongkat golf =50 m/s

e = 0.80

Langkah 2 : Mengidentifikasi variable yg ditanya untuk dipecahkan

V_ball = ?

Langkah 3: Cari persamaan dengan variabel yang diketahui dan tidak diketahui di dalamnya.

m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂

m_ballu_ball + m_clubc_club = m_ballv_ball + m_clubv_club

e =  =  =

Langkah 4: Kami memiliki dua variabel yang tidak diketahui, VClub dan vball yang mewakili kecepatan setelah tumbukan alat pemukul (tongkat golf) dan bola. Kami juga memiliki dua persamaan untuk digunakan. Jika jumlah persamaan independen sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, variabel yang tidak diketahui dapat dihitung. Kita perlu untuk memecahkan salah satu persamaan untuk satu variabel yang tidak diketahui dalam hal yang lain. Mari kita menggunakan koefisien persamaan restitusi dan memecahkan untuk kecepatan setelah tumbukan dari alat pemukul (tongkat golf). Kami ingin memanipulasi persamaan sehingga kecepatan setelah tumbukan tongkat golf, VClub, terisolasi pada satu sisi persamaan dengan sendirinya.

e =

e (u_ball – u_club) = v_club - v_ball

v_club = e (u_ball – u_club) + v_ball

Langkah 5: Sekarang mari kita mensttubtitusi ini untuk kecepatan setelah tumbukan ke konservasi persamaan momentum.

m_ballu_ball + m_clubc_club = m_ballv_ball + m_clubv_club

m_ballu_ball + m_clubc_club = m_ballv_ball + m_club X [e(u_ball – u_club)+v_ball]

Langkah 6: Menstubtitusi nilai yang diketahui dan memecahkan untuk mendapatkan kecepatan setelah tumbukan bola

(46 g)(0) +(210 g)(50 m/s) = (46 g)v_ball + (210 g) X [0.80 (0-50 m/s) + v_ball]

(210 g)(50 m/s) = v_ball (46 g +210 g) – (210 g)(0.8)(50 m/s)

(210 g)(50 m/s) + (210 g)(0.8)(50 m/s) = v_ball (256 g)

v_ball =

v_ball = 74 m/s

Langkah 7

Kecepatan ini adalah lebih dari 150 mil / jam, tapi itu tampaknya benar ketika anda berpikir tentang seberapa cepat suatu roket bola golf dari tee.

Eksplorasi hukum pertama Newton tentang gerak mendorong kami untuk konservasi prinsip momentum dan tumbukan. Dalam analisis tabrakan, kami menganggap kedua objek bertabrakan untuk menjadi bagian dari sistem yang sama, dan dengan demikian kita mengabaikan kekuatan dampak-karena itu kekuatan internal. Jika kita mengisolasi hanya salah satu objek yang terlibat dalam tabrakan, maka dampak kekuatan ini menjadi kekuatan eksternal, dan hukum pertama Newton tidak lagi berlaku. Apa yang terjadi ketika kekuatan eksternal yang bekerja pada hasil objek dalam gaya eksternal total tidak sama dengan nol? Newton datang dengan jawaban atas pertanyaan ini dalam hukum kedua Newton.